Geometristen konstruktioiden tilastollisesta tarkkuudesta

Tiivistelmä

Ranskalainen matemaatikko Émile Lemoine (1840–1912) kehitti 1880-luvulla geometrografian. Siinä tasogeometristen harppi–viivoitin-konstruktioiden ominaisuuksia tarkastellaan perustoimintojen

• S1: Aseta viivoitin kulkemaan annetun pisteen kautta.
• S2: Piirrä viivoittimella suora.
• C1: Aseta harpin kärki (kumpi tahansa) tiettyyn pisteeseen.
• C2: Aseta harpin kärki viivalle (suoralle tai ympyrälle).
• C3: Piirrä ympyrä harpilla.

avulla.

Jos konstruktiossa noiden perustoimintojen lukumäärät ovat m1, m2, n1, n2 ja n3, Lemoinen yksinkertaisuusmitta (simplicité) konstruktiolle on näiden suora summa S = m1 + m2 + n1 + n2 + n3 ja tarkempi kuvaus on ”symboli” m1S1 + m2S2 + n1C1 + n2C2 + n3C3.

Yksinkertaisuusmittaa käytettiin eri konstruktioratkaisujen hyvyyttä vertailtaessa. Tämä on herättänyt jonkin verran arvostelua, koska siinä lasketaan raa'asti yhteen yhteismitattomia suureita.

Mielestäni Lemoinen mitta toimii kyllä käytännössä hieman paremmin kuin mitä siitä suoraan voisi päätellä. Lemoine on määritellyt myös lyhyemmän tarkkuusmitan (Exactitude) E = m1 + n1 + n2, jonka komponentit (piirtovälineiden kohdistaminen annettuun paikkaan) ovat ymmärtääkseni selvemmin yhteismitallisia. Hän ei kuitenkaan ole havainnut, että käytännössä mittojen S ja E välillä näyttää olevan huikea (yli 0.99) korrelaatio eli S ei tarjoa mitään olennaista lisäinformaatiota mittaan E verrattuna.

Lemoinen tarkkuusmittaankin (E) tulee suhtautua kriittisesti. Se ei lainkaan ota huomioon, että geometrisen kuvion piirtämisessä todellisella harpilla ja viivoittimella pienetkin virheet kasautuvat eri tavoin riippuen mm. siitä, miten peräkkäiset konstruktiovaiheet ketjuuntuvat. Mitta E ei siis kerro koko totuutta ainakaan tilastollisessa katsannossa.

On luonnollista olettaa, että esim. asetettaessa harpin (kumpaa tahansa) kärkeä tiettyyn pisteeseen, se ei osu tarkkaan paikalleen ja osumapisteellä on virhejakauma, joka on kaksiulotteisesti normaalinen. Yksinkertaisin jatko-oletus on tällöin, että virhevarianssi on sama vakio s2 joka suuntaan (Malli 0). Jakaumamallia olen yrittänyt yleistää siten, että jakauman muoto riippuu pisteen luonteesta. Jos kyseessä on esim. kahden suoran leikkauspiste, varianssi olisi suurinta suorien välisen terävän kulman puolittajan suunnassa ja pienintä kohtisuorassa suunnassa. Olen tehnyt näin kahdellakin tavalla (Mallit 1 ja 2), mutta molemmat näennäisestä järkevyydestään huolimatta saattavat johtaa ristiriitaisuuksiin ja kummallisuuksiin mm. siten, että konstruktiota monimutkaistamalla olisi mahdollista parantaa tarkkuutta. Näin itse asiassa palattaisiinkin lähelle mallin 0 mukaista tilannetta. Koska mallien kokeilussa on käynyt ilmi, että ne antavat hyvin samankaltaisia tuloksia, olen päätynyt käyttämään yksinkertaisinta 0-mallia.

Konstruktioiden esittämiseksi on tarjolla monenlaisia valmiita ohjelmia, mutta ne ovat tässä yhteydessä riittämättömiä, koska niihin ei voi liittää tilastollisia virhetarkasteluja. Olen siksi tehnyt Survoon uuden ohjelman GEOM

1. konstruktioiden kuvaamiseksi,
2. ”tarkkojen” konstruktioiden piirtoon,
3. konstruktioiden tilastollisen tarkkuuden laskemiseksi.

Vaihe a tapahtuu toimituskenttään kirjoitetun, konstruktion vaiheet kertovan koodin avulla.

GEOM ei itse piirrä mitään, vaan vaihe b toteutuu valmiilla Survon PLOT-kaavioilla, joita varten GEOM luo eri geometrisia objekteja (pisteet, suorat, ympyränkaaret, janat, jne.) kuvaavat datatiedostot.

Vaihe c tapahtuu Monte Carlo -menetelmällä (simuloimalla), jolloin GEOM tekee esim. n = 100000 kertaa saman konstruktion käyttäen vakioperushajontaa s valitun virhemallin mukaisesti. Tuloksena syntyy n havainnon tekstitedosto, joka on helppo muuntaa Survon datatiedostoksi. Sitten voidaan Survon normaaleilla operaatioilla laskea arvio konstruktion tarkkuudelle. Vaihetta c ei nähdäkseni ole kovinkaan helppo korvata tarkoilla kaavoilla ja laskelmilla, sillä jo yksinkertaisimmissakin tapauksissa jouduttaisiin hankalien moninkertaisten integraalien määräämiseen.

Alustava tutkimusraporttini aiheesta on verkko-osoitteessa http://www.survo.fi/papers/GeomAccuracy.pdf

Olen siinä mm. tarkastellut esimerkkeinä erilaisia säännöllisen 5-kulmion konstruointitapoja ja vertaillut niiden tarkkuuksia. Toinen sovellusalueeni on ollut ”ympyrän likimääräinen neliöiminen”, jossa tilastollinen lähestymistapa antaa uusia mahdollisuuksia erilaisten menettelyjen vertailuun. Osoittautuu, että riippuu olennaisesti perustarkkuudesta s, mikä konstruointitapa antaa parhaan tuloksen.

Lisätietoja luennosta
Simo Puntanen
sähköposti etunimi.sukunimi@uta.fi