FL Suvi Lehtisen matematiikan alaan kuuluva väitöskirja

Generalizing the Goldblatt-Thomason Theorem and Modal Definability (Goldblatt-Thomasonin lauseen ja modaalisen määriteltävyyden yleistyksiä)

tarkastetaan 7.11.2008 klo 12 Tampereen yliopiston Pinni B-rakennuksen luentosalissa B1096, Kanslerinrinne 1, Tampere.

Vastaväittäjänä on tutkija Tero Tulenheimo (Lillen yliopisto, Ranska). Kustoksena toimii professori Lauri Hella.

***

Suvi Lehtinen on syntynyt Leppävirralla ja hän on suorittanut filosofian lisensiaatin tutkinnon Tampereen yliopistossa. Hän työskentelee Senior Design Engineer-nimikkeellä Nokia Oyj:ssä.

Lehtisen väitöskirja ilmestyy sarjassa Acta Universitatis Tamperensis; 1365, Tampere University Press, Tampere 2008. ISBN 978-951-44-7514-6, ISSN 1455-1616. Väitöskirja ilmestyy myös sähköisenä sarjassa Acta Electronica Universitatis Tamperensis; 786, Tampereen yliopisto 2008. ISBN 978-951-44-7515-3, ISSN 1456-954X.
http://acta.uta.fi.

Väitöskirjan tilausosoite: Verkkokirjakauppa Granum, http://granum.uta.fi, tai Tiedekirjakauppa TAJU, PL 617, 33014 Tampereen yliopisto, puh. (03) 3551 6055, e-mail: taju@uta.fi.

Lisätietoja: Suvi Lehtinen, email. suvi.lehtinen@iki.fi

LEHDISTÖTIEDOTE

Määriteltävyysteoria tutkii erilaisia kieliä ja niiden ilmaisuvoimaa. Niinpä modaalilogiikan määriteltävyysteoria, johon tämä työ kuuluu, tutkii erilaisten modaalisten kielten ilmaisuvoimaa. Tarkasteltava kieli määrittelee syntaksin eli lauseiden muodon/rakenteen ja käytettävissä olevat mallit semantiikan eli lauseiden tulkinnan.

Tässä työssä tarkasteltavana kielenä on perusmodaalilogiikka ja sen eräät laajennukset. Blackburn, de Rijke ja Venema luonnehtivat eräässä modaalilogiikan perusteoksessaan modaalisia kieliä yksinkertaisiksi kieliksi, joiden avulla voidaan puhua relationaalisista struktuureista. Yksinkertaisuus tulee siitä, että perusmodaalilogiikka saadaan lauselogiikasta lisäämällä siihen modaalinen operaattori, jonka avulla kaavojen totuutta voidaan arvioida myös suhteessa mallin muihin tiloihin/maailmoihin. Siinä missä tavallisessa lauselogiikassa kaava on tosi tai epätosi vain osastensa totuusarvoista riippuen, modaalilogiikassa kaavan totuus mallissa voi riippua yhdestä tai useammasta muusta maailmasta, joiden kanssa tarkasteltava maailma on relaatiossa. Tavallisimmat modaalioperaattorit ovat "mahdollisuus"- ja "välttämättömyysoperaattorit", jotka tulkitaan relationaalisessa mallissa (suunnattu graafi): Asiantila on mahdollinen, jos tarkasteltavasta tilasta pääsee johonkin tilaan, jossa se on tosi, ja asiantila on välttämätön, jos se on tosi kaikissa mahdollisissa maailmoissa, joihin tarkasteltavasta tilasta on mahdollista päästä.

Semantiikan tarjoavat relationaaliset kehykset, jotka koostuvat tiloista ja relaatio(i)sta niiden välillä. Kielessä oleville propositiosymboleille olisi myös mahdollista antaa tulkinnat, jotka kertoisivat missä maailmoissa mitkäkin propositiot ovat tosia, mutta tässä työssä liikutaan pääsääntöisesti kehysten tasolla, jolloin keskeiseksi käsitteeksi nousee totuuden asemesta validisuus. Kaava on validi kehyksessä, mikäli se on tosi kehyksen jokaisessa tilassa propositiosymboleille annetusta tulkinnasta riippumatta. Tämä antaa yhden tavan määritellä määriteltävyyden käsitteen – sanotaan, että kehysluokka on määriteltävissä kielessä L, mikäli on olemassa kielen L kaava(joukko), joka on validi täsmälleen määriteltävänä olevan kehysluokan kehyksissä.

Alkuperäisenä lähtökohtana tälle tutkimukselle oli Goldblatt-Thomasonin lause, jonka mukaan ensimmäisen kertaluvun logiikassa määriteltävät kehysluokat ovat määriteltävissä tavallisessa modaalilogiikassa täsmälleen silloin kuin nämä kehysluokat ovat suljettuja tiettyjen kehyskonstruktioiden suhteen. Työssä on esitetty tällä klassiselle tulokselle useita variaatioita. Näitä on saavutettu kahdella tavalla: rajaamalla tarkasteltavia kehysluokkia ja toisaalta laajentamalla käytettävää modaalilogiikan kieltä.

Työn omaperäisin osa koostuu luvusta 5, jossa esitellään luonnollinen laajennus kehysvalidisuudelle. Siinä missä tavallinen kehysvalidisuus vastaa kvantifiointia osajoukkojen yli, siirrytään tässä uudessa validisuuden käsitteessä tarkastelemaan tapausta, jossa on mahdollista kvantifioida myös osa kaavan tulkinnassa käytettävistä relaatioista. Kvantifioitavia relaatioita (ja niitä vastaavia modaalioperaattoreita) kutsutaan apulaisiksi (helpers) ja varsinaisia relaatioita (ja niitä vastaavia modaalioperaattoreita) pomoiksi (bosses). Tämä kasvattaa ilmaisuvoimaa, mutta säilyttää kuitenkin joitakin tutuista kehyskonstruktioista. Viimeisessä kappaleessa esitellään vielä assistetit, joiden tulkinta voi riippua alla olevan kehyksen relaatio(i)sta (boss-dependent) tai vain maailmoista (boss-independent), kuten vaikkapa globaalin modaliteetin tapauksessa. Lopuksi tarkasteluun otetaan mukaan vielä toteutuvuuden invarianssi-ehto, joka avulla voidaan tarkastella myös sellaisia vain maailmoista riippuvia assistentteja kuin lineaarijärjestys tai seuraajarelaatio. Työ viimeinen luku avaa uusia ovia ja jättää runsaasti tutkittavaa myös tuleville tutkijasukupolville.

 

käyntiä 23.10.2008 alkaen

Väitökset    Tampereen yliopiston kirjasto   Tampereen yliopisto