Matematiikan tutkimus  

Algebrallinen geometria 

Algebrallisen geometrian tutkimuskohteena ovat ne geometriset kuviot ja muodot, jotka voidaan määritellä polynomiyhtälöiden avulla. Välineet tähän tutkimukseen antaa kommutatiivinen algebra. Algebrallisen geometrian sovellukset ulottuvat nykyään teoreettisesta fysiikasta ja matemaattisesta biologiasta aina geometriseen mallinnukseen ja mobiililaitteissa käytettäviin salausjärjestelmiin. Tampereella tutkitaan erityisesti singulariteetteja. Singulariteetin kohdalla käyrä tai pinta voi leikata itseään tai sillä voi olla siinä terävä kärki tai kulma. Tampereen yliopisto on tällä hetkellä ainoa paikka Suomessa, jossa tutkitaan algebrallista geometriaa ja kommutatiivista algebraa.

Logiikka

Matemaattinen logiikka on laaja tutkimusala, joka sai alkunsa noin sata vuotta sitten, kun matemaattisia päättelyitä alettiin tutkia matemaattisin menetelmin. Päättelyiden muotoilua varten kehitettiin tuolloin predikaattilogiikka, jolla on edelleen keskeinen asema logiikan tutkimuksessa; esimerkiksi koko matematiikan perustana oleva joukko-oppi muotoillaan predikaattilogiikkaa käyttäen.
Päättelyjen tutkimuksen lisäksi matemaattisen logiikan perinteisenä tutkimuskohteena on ollut määriteltävyysteoria. Määriteltävyysteorian peruskysymys on: "Mitkä matemaattisten struktuurien ominaisuudet voidaan määritellä annetun loogisen kielen kaavoilla?" Useimmissa määriteltävyysteorian sovelluksissa käytetään predikaattilogiikan sijasta ilmaisukyvyltään joko vahvempaa tai heikompaa loogista kieltä. Esimerkiksi tietojenkäsittelyoppiin liittyvissä sovelluksissa käytetään predikaattilogiikan laajennuksia toisen kertaluvun operaattoreilla tai yleistetyillä kvanttoreilla, ja toisaalta predikaattilogiikkaa heikompia modaalilogiikoita. Laitoksella toimivan logiikan ryhmän kaikki tutkimusaiheet liittyvät tavalla tai toisella määriteltävyysteoriaan. Erityisesti ryhmän jäsenet tutkivat yleistettyjä kvanttoreita ja modaalilogiikkaa.

Lukuteoria  

Lukuteoria on tieteenala, jonka tutkimuksen kohteena ovat kokonaislukujen ominaisuudet. Lukuteoreettiset kysymyksenasettelut on usein helppo ymmärtää, mutta niiden ratkaiseminen saattaa vaatia varsin syvällistä matematiikkaa, esimerkiksi algebran tai analyysin alalta. Yksi kuuluisimmasta lukuteorian tuloksista on Fermat'n suuri lause, jonka mukaan ei ole olemassa sellaisia positiivisia kokonaislukuja x, y ja z, jotka toteuttaisivat yhtälön xⁿ + yⁿ = zⁿ, kun n on lukua 2 suurempi kokonaisluku. Ranskalainen lakimies ja amatöörimatemaatikko Pierre de Fermat esitti sen vuonna 1637, mutta vasta brittiläinen matemaatikko Andrew Wiles onnistui todistamaan sen oikeaksi vuonna 1995. Tampereen yliopiston lukuteorian ryhmä tutkii aritmeettisia funktioita ja kokonaislukumatriiseja. Aritmeettinen funktio on sellainen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko.