ovat matemaattisia laskentakaavoja, joiden avulla määritellään asteikon sävelten sävelkorkeudet. Musiikin historia tuntee useita viritysjärjestelmiä alkaen antiikin kreikkalaisen matemaatikon Pythagoraan (n. 550 eKr) järjestelmästä. Pythagoras huomasi sen intervallisuhteisiin liittyvän ongelman, jonka ratkaisuyrityksiä kaikki erilaiset viritysjärjestelmät ovat:
samasta sävelestä nouseva oktaavisarja on hivenen matalampi kuin kvinttisarja. Tätä eroa kutsutaan nimellä Pythagoraan komma. Tästä seuraa, että jos oktaavit tahdotaan pitää puhtaina ja samalla säilyttää mahdollisuus moduloida täysin vapaasti sävellajista toiseen, mikää muu intervalli ei voi olla täysin puhdas.

Pythagoras perusti oman viritysjärjestelmänsä puhtaisiin kvintteihin. Etenkin keskiaikaisessa yksiäänisessä laulussa ja varhaisessa moniäänisyydessä, joka perustui paljolti kvintti- ja kvarttiharmonioihin, pythagoralaisittain määritellyt sävelkorkeudet olivat käyttökelpoisia. Kun musiikissa siirryttiin terssiharmonioihin, pythagoralainen viritysjärjestelmä liian laajoine tersseineen korvattiin muilla.

Ns. puhdas viritys perustuu yläsävelsarjan tuottamiin lukusuhteisiin. Viritys toimii täydellisesti kuitenkin vain harvoissa sävellajeissa kerrallaan: modulointi kaukaisempiin sävellajeihin tulee mahdottomaksi. Venttiilittömät puhaltimet, joissa sävelkorkeudet syntyvät suoraan yläsävelsarjasta, tuottavat luonnostaan puhdasta viritystä.

Moduloimisen mahdollisuus yritettiin 1500-luvulla saavuttaa ns. keskisävelvirityksen avulla, jossa terssit ovat puhtaita ja kvintit hieman kapeita. Tämä viritysjärjestelmä tekee moduloimisen mahdolliseksi kahden tai kolmen kvintin päähän alkuperäisen sävellajin ylä- ja alapuolelle. Kauemmas menevät modulaatiot eivät onnistu. C-toonikan pohjalle tällä menetelmällä viritetty asteikko tuottaa as:n ja es:n välille ns. "susikvintin", joka "ulvoo".

1600-luvulla viritysjärjestelmiä kehitti saksalainen säveltäjä, urkuri ja teoreetikko Andreas Werckmeister. Hän hajotti Pythagoraan komman eri sävellajien kesken niin, että sen aiheuttama epävireisyys häiritsisi mahdollisimman vähän, ja että samalla virityksellä voitiin musisoida kaikissa sävellajeissa. Werkmeister hävitti komman epäsäännöllisellä tavalla, mistä johtui, että eri sävellajit kuulostivat erilaisilta. Tämä oli barokkimusiikissa toivottavaakin, koska eri sävellajien katsottiin edustavan erilaisia tunneprosesseja eli affekteja.

1700-luvulla J.S. Bachin oppilas Johann Philipp Kirnberger kehitteli edelleen Werckmeisterin viritysjärjestelmää ja jakoi komman entistä tasaisemmin koko sävellajijärjestelmään.

Tämän kehityksen lopputulos on tasavireinen viritysjärjestelmä, jossa komma on jaettu tasan kaikkien kvinttien kesken. Tässä järjestelmässä sävelkorkeudet lasketaan logaritmisen laskentakaavan mukaan. Tasavireisyys tekee kaikista sävellajeista täsmälleen samanlaisia ja antaa siis mahdollisuuden täysin vapaaseen modulointiin.